Geometrisk rekke og følge – ledd nummer n, sum og uendelig sum
Skriv inn første ledd og kvotienten, eller de første leddene, så får du ledd nummer n, summen av n ledd og den uendelige summen når den finnes. 2, 6, 18 … gir a₈ = 4 374 og S₈ = 6 560.
Resultat
Slik er det regnet ut
- Ledd nummer n: aₙ = a₁ · kⁿ⁻¹ = 2 · 3⁷ = 2 · 2 187 = 4 374
- Summen: S₈ = a₁ · (kⁿ − 1) / (k − 1) = 2 · (3⁸ − 1) / (3 − 1) = 2 · 6 560 / 2 = 6 560
- |k| ≥ 1, så leddene blir ikke mindre, og summen av uendelig mange ledd finnes ikke (rekken divergerer).
Formel
Sₙ = a₁ · (kn − 1) / (k − 1), k ≠ 1
Uendelig sum når |k| < 1: S = a₁ / (1 − k)
Hva er en geometrisk følge og rekke?
I en geometrisk følge ganger du med det samme tallet for å komme til neste ledd: 2, 6, 18, 54 … Tallet du ganger med, kalles kvotienten k, her 3. Summen av leddene, 2 + 6 + 18 + 54 + …, er en geometrisk rekke. Der en aritmetisk følge vokser med like store steg, vokser en geometrisk følge med samme faktor, altså samme prosent hver gang.
Ledd nummer n
aₙ = a₁ · kn−1. Du ganger med k én gang færre enn nummeret på leddet. I følgen 2, 6, 18 … er a₈ = 2 · 3⁷ = 2 · 2 187 = 4 374.
Summen av n ledd
Sₙ = a₁ · (kn − 1) / (k − 1). For de åtte første leddene blir det 2 · (3⁸ − 1)/(3 − 1) = 2 · 6560/2 = 6 560. Er k = 1, er alle leddene like, og summen er bare n · a₁.
Uendelige geometriske rekker
Er kvotienten mellom −1 og 1, blir leddene mindre og mindre, og summen av uendelig mange ledd nærmer seg et bestemt tall. Rekken konvergerer, og summen er S = a₁/(1 − k).
Det klassiske eksempelet er 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … Her er a₁ = 1 og k = 0,5, så summen er 1/(1 − 0,5) = 2. Går du halve veien mot en dør, så halvparten av resten og så videre, kommer du aldri helt fram, men den totale strekningen blir aldri lengre enn avstanden til døra. Med 100 og k = 0,5 blir summen 200.
Er |k| ≥ 1, blir leddene ikke mindre, og rekken divergerer: summen vokser over alle grenser (eller hopper fram og tilbake når k = −1).
Geometriske rekker i økonomi
Sparing med fast innskudd og fast rente er en geometrisk rekke. Setter du inn 10 000 kr hvert år i 10 år med 5 % rente, blir saldoen rett etter det tiende innskuddet 10 000 · (1,05¹⁰ − 1)/(1,05 − 1) = 125 778,93 kr. Det første innskuddet har da vokst i ni år, det siste ikke i det hele tatt. Det er denne formelen sparekalkulatoren og bankenes lånekalkulatorer bygger på. Vil du se hvordan ett enkelt beløp vokser, bruk rentes rente eller eksponentiell vekst.
Riskornene på sjakkbrettet
Legger du 1 riskorn på første rute, 2 på andre, 4 på tredje og så videre, er det til sammen 2⁶⁴ − 1 korn på de 64 rutene, omtrent 1,84 · 10¹⁹. Det viser hvor fort geometrisk vekst går, sammenlignet med aritmetiske rekker.
Spørsmål og svar
Hva er formelen for ledd nummer n i en geometrisk følge?
aₙ = a₁ · kn−1. Med a₁ = 2 og k = 3 er a₈ = 2 · 3⁷ = 4 374.
Hvordan regner jeg ut summen av en geometrisk rekke?
Sₙ = a₁ · (kⁿ − 1)/(k − 1). For 2 + 6 + 18 + … med 8 ledd blir det 2 · (6561 − 1)/2 = 6 560.
Når har en geometrisk rekke en uendelig sum?
Når kvotienten ligger mellom −1 og 1. Da er summen a₁/(1 − k), for eksempel 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2.
Hva er forskjellen på geometrisk og aritmetisk rekke?
I en aritmetisk rekke legger du til det samme tallet hver gang, i en geometrisk ganger du med det samme tallet.
Hva betyr det at en rekke divergerer?
At summen ikke nærmer seg noe bestemt tall når du tar med flere og flere ledd. Geometriske rekker med |k| ≥ 1 divergerer.
Fikk du svaret du trengte?
Takk! Lagre kalkulatoren med stjernen, så finner du den raskt neste gang.