Eksponentiell vekst og nedgang – N = N₀ · kᵗ
Velg hva du vil finne, og skriv inn startverdien og den prosentvise endringen per periode. Du får svaret, vekstfaktoren, doblings- eller halveringstiden og en tabell. 1 000 som vokser 5 % i 10 perioder blir 1 628,89.
Resultat
| Periode | Verdi |
|---|---|
| 0 | 1 000 |
| 1 | 1 050 |
| 2 | 1 102,5 |
| 3 | 1 157,63 |
| 4 | 1 215,51 |
| 5 | 1 276,28 |
| 6 | 1 340,1 |
| 7 | 1 407,1 |
| 8 | 1 477,46 |
| 9 | 1 551,33 |
| 10 | 1 628,89 |
Slik er det regnet ut
- Vekstfaktoren: k = 1 + 5 / 100 = 1,05 (vekst, fordi k er større enn 1)
- N = N₀ · kᵗ = 1 000 · 1,0510 = 1 000 · 1,628895 = 1 628,89
- Doblingstid: ln 2 / ln k = 0,6931 / 0,0488 = 14,21 perioder. Tommelfingerregelen 70 / p gir 14.
Formel
t = lg(N/N₀) / lg k
Doblingstid = ln 2 / ln k, halveringstid = ln 0,5 / ln k
Hva er eksponentiell vekst?
Ved eksponentiell vekst øker en størrelse med samme prosent hver periode, ikke med samme antall. Jo større verdien blir, desto mer vokser den. Det motsatte, når verdien synker med samme prosent hver periode, kalles eksponentiell nedgang (eller avtagning). Modellen er
N(t) = N₀ · kt
der N₀ er startverdien, t er antall perioder og k er vekstfaktoren. Ved vekst på p % per periode er k = 1 + p/100, så 5 % vekst gir k = 1,05 og 15 % nedgang gir k = 0,85. Se også vekstfaktor.
Eksempel: vekst
En verdi på 1 000 som vokser med 5 % per år, er etter 10 år 1 000 · 1,0510 = 1 628,89. Den har altså økt med nesten 63 %, ikke 50 %, fordi hver økning regnes av et stadig større tall. Det er samme prinsipp som rentes rente.
Eksempel: nedgang
En bil til 300 000 kr som taper 15 % av verdien hvert år (et tenkt tall, det reelle verditapet varierer), er etter 5 år verdt 300 000 · 0,855 = 133 111,59 kr. Halveringstiden er 4,27 perioder, altså litt over fire år.
Hvor lang tid tar det?
Skal du finne tiden, må du løse en likning med t i eksponenten. Det gjør du med logaritmer: 1 000 · 1,05t = 2000 gir 1,05t = 2, og t = lg 2 / lg 1,05 = 14,21 perioder.
Doblingstid og 70-regelen
Doblingstiden avhenger bare av vekstprosenten, ikke av startverdien. En grei tommelfingerregel er å dele 70 på prosenten: ved 5 % vekst dobles verdien på omtrent 70/5 = 14 perioder. Regelen er god for vekst under rundt 10 %. Ved nedgang bruker du på samme måte halveringstiden, som blant annet brukes om radioaktive stoffer og medisiner i kroppen, se halveringstid.
Finn vekstfaktoren fra to målinger
Kjenner du startverdien, sluttverdien og tiden, finner du vekstfaktoren ved å ta roten: k = (N/N₀)1/t. Har noe gått fra 1 000 til 2000 på 10 år, er k = 20,1 ≈ 1,071773, altså en gjennomsnittlig vekst på 7,18 % per år.
Lineær eller eksponentiell?
Øker noe med like mange enheter hver periode, er veksten lineær. Øker det med like mange prosent, er den eksponentiell. På kort sikt kan de ligne, men over tid vokser den eksponentielle modellen fra den lineære. Husk at modellen er en forenkling: ekte befolkninger, priser og smittetall følger sjelden samme prosent i mange år.
Spørsmål og svar
Hva er formelen for eksponentiell vekst?
N(t) = N₀ · kᵗ, der N₀ er startverdien, k = 1 + p/100 er vekstfaktoren og t er antall perioder.
Hvordan finner jeg vekstfaktoren?
Legg prosenten til 1 som desimaltall: 5 % vekst gir k = 1,05, og 15 % nedgang gir k = 0,85.
Hvordan regner jeg ut doblingstiden?
Del ln 2 på ln k. Med 5 % vekst blir det 0,6931 / 0,0488 ≈ 14,2 perioder. 70-regelen gir 70/5 = 14.
Hva er forskjellen på lineær og eksponentiell vekst?
Lineær vekst øker med like mye hver periode, eksponentiell vekst med like stor prosent. Eksponentiell vekst går derfor raskere og raskere.
Hvordan finner jeg tiden i en eksponentiell modell?
Løs N₀ · kᵗ = N med logaritmer: t = lg(N/N₀) / lg k.
Fikk du svaret du trengte?
Takk! Lagre kalkulatoren med stjernen, så finner du den raskt neste gang.