Aritmetisk rekke og følge – finn ledd nummer n og summen

Hva er en aritmetisk følge og rekke?

En aritmetisk følge er en tallfølge der du legger til det samme tallet hver gang: 3, 7, 11, 15 … Tallet du legger til, kalles differansen d, her 4. Legger du sammen leddene, 3 + 7 + 11 + 15 + …, får du en aritmetisk rekke. Følgen er altså listen med tall, og rekken er summen av dem.

Ledd nummer n

For å komme fra første ledd til ledd nummer n, legger du til differansen n − 1 ganger:

aₙ = a₁ + (n − 1) · d

I følgen 3, 7, 11 … er a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39. Du kan også skrive formelen som aₙ = 4n − 1, som er en lineær funksjon av n med stigningstall d. Det er derfor punktene (n, aₙ) ligger på en rett linje, se stigningstall.

Summen av en aritmetisk rekke

Summen av de n første leddene er antall ledd ganget med gjennomsnittet av første og siste ledd:

Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2

For 3 + 7 + … + 39 blir det 10 · (3 + 39)/2 = 10 · 21 = 210.

Gauss og summen av 1 til 100

Det sies at Carl Friedrich Gauss som skolegutt raskt la sammen alle tallene fra 1 til 100. Han så at 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 og så videre alltid blir 101, og at det er 50 slike par. Summen er 50 · 101 = 5 050, akkurat det formelen gir.

Eksempler fra hverdagen

• Sparing med fast økning: Du sparer 100 kr den første uka og 10 kr mer hver uke. Uke 52 sparer du 610 kr, og til sammen har du spart 18 460 kr.
• Seter i en sal: Første rad har 20 seter, og hver rad har 2 flere enn raden foran. Med 15 rader er det 510 seter.
• Synkende følger: Differansen kan være negativ. 10, 7, 4, 1 … har d = −3, og a₅ = −2.

Aritmetisk eller geometrisk?

Sjekk differansene: er de like, er følgen aritmetisk. Er det i stedet forholdet mellom leddene som er likt, som i 2, 6, 18, 54, er følgen geometrisk. Da bruker du geometrisk rekke. Kalkulatoren sier fra hvis leddene du skriver inn, ikke har lik differanse.