Binomisk fordeling – kalkulator for binomisk sannsynlighet

Når er noe binomisk fordelt?

Antall suksesser X er binomisk fordelt når fire krav er oppfylt:

1. Det gjøres et fast antall forsøk, n.
2. Hvert forsøk har bare to utfall: suksess eller ikke suksess.
3. Sannsynligheten for suksess, p, er den samme i hvert forsøk.
4. Forsøkene er uavhengige av hverandre.

Eksempler er antall seksere på ti terningkast, antall riktige svar når du gjetter på en flervalgsprøve, og antall defekte varer i et tilfeldig utvalg fra en stor produksjon.

Formelen

Sannsynligheten for nøyaktig k suksesser er

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n − k}

C(n, k) er binomialkoeffisienten «n over k», antall måter å velge hvilke k av de n forsøkene som er suksesser. Se kombinasjoner.

Eksempel

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kunde kjøper noe, er 0,3. Hva er sjansen for at nøyaktig 3 av 10 kunder kjøper?

P(X = 3) = C(10, 3) × 0,3³ × 0,7⁷ = 120 × 0,027 × 0,08235 = 0,2668.

Eksempel med terning

Sjansen for nøyaktig to seksere på ti kast er C(10, 2) × (1/6)² × (5/6)⁸ = 45 × 0,02778 × 0,2326 = 0,2907.

Kumulative sannsynligheter

«Høyst», «minst», «færre enn» og «flere enn» betyr at du legger sammen flere sannsynligheter:

• Høyst 3: P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3). For kundeeksempelet er det 0,0282 + 0,1211 + 0,2335 + 0,2668 = 0,6496.
• Minst 3: P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − 0,3828 = 0,6172. Det er raskere å regne via den motsatte hendelsen.
• Mellom 2 og 5: P(2 ≤ X ≤ 5) = 0,8033.

Pass på forskjellen mellom ≤ og <. «Færre enn 3» er P(X ≤ 2), ikke P(X ≤ 3).

Forventning og standardavvik

I en binomisk fordeling er forventningen E(X) = n · p og standardavviket √(n · p · (1 − p)). Med 10 kunder og p = 0,3 forventer du 3 kjøp, med standardavvik √2,1 = 1,45. Når n er stort og både n · p og n · (1 − p) er minst 10, er fordelingen omtrent normalfordelt.

Slik bruker du kalkulatoren

• Skriv p som desimaltall (0,3), brøk (1/6) eller prosent (30 %).
• Velg hva du vil finne. Tabellen viser hele fordelingen, og radene som er med i svaret står i fet skrift.
• Kalkulatoren regner med logaritmer, så den håndterer mange forsøk uten å runde av for tidlig.

I Excel gir BINOM.FORDELING(k; n; p; USANN) P(X = k), og med SANN som siste argument P(X ≤ k). Trekker du uten tilbakelegging fra en liten gruppe, er sannsynligheten ikke lenger den samme i hvert forsøk, og da passer den hypergeometriske fordelingen bedre. For enklere spørsmål om «minst én gang», se sannsynlighet-kalkulatoren.