Arealsetningen – areal av trekant fra to sider og vinkelen mellom

Hva sier arealsetningen?

Arealet av en trekant er halvparten av to sider ganget med sinus til vinkelen mellom dem:

A = ½ × a × b × sin C

Du trenger altså ikke høyden. Med sidene 8 og 6 og vinkelen 30° mellom dem blir arealet ½ × 8 × 6 × sin 30° = ½ × 48 × 0,5 = 12.

Hvor kommer formelen fra?

Den vanlige arealformelen er grunnlinje × høyde ÷ 2. Bruker du a som grunnlinje, er høyden ned på a lik b × sin C, fordi høyden er motstående katet i en rettvinklet trekant med hypotenus b. Setter du det inn, får du A = ½ × a × b × sin C. I eksempelet er høyden 6 × 0,5 = 3. Er vinkelen 90°, er sin C = 1, og formelen blir den vanlige for en rettvinklet trekant: katet × katet ÷ 2.

Det viktigste: vinkelen må ligge mellom sidene

Vinkelen du bruker, må være den som ligger mellom de to sidene. Kjenner du en annen vinkel, må du først finne den riktige, for eksempel med vinkelsummen 180° eller med sinussetningen. Kjenner du alle tre sidene, kan du bruke Herons formel på areal av trekant, eller finne en vinkel med cosinussetningen først.

Gå baklengs: finn vinkelen eller en side

Vet du arealet, kan du snu formelen:

• Vinkel: sin C = 2A ÷ (a × b). Med A = 12, a = 8 og b = 6 blir sin C = 0,5. Både 30° og 150° har sinus 0,5, så begge vinklene gir en trekant med areal 12. Kalkulatoren viser begge.
• Side: b = 2A ÷ (a × sin C). Med A = 12, a = 8 og C = 30° blir b = 24 ÷ 4 = 6.

Er 2A større enn a × b, finnes ingen løsning. Det største arealet to sider kan gi, får du når vinkelen mellom dem er 90°.

Praktisk bruk

Trekantet tomt eller hjørne

Har du målt to sider av en trekantet tomt, 40 m og 30 m, og vinkelen mellom dem er 75°, er arealet ½ × 40 × 30 × sin 75° = 579,6 m². Den tredje siden blir 43,3 m, som du kan kontrollmåle.

Parallellogram og mangekanter

Et parallellogram er to like trekanter, så arealet er a × b × sin v (uten ½). En regulær sekskant med side 1 består av seks likesidede trekanter med areal ½ × 1 × 1 × sin 60° hver, til sammen 2,5981. Se areal av parallellogram og areal av sekskant.

Tips

• Still kalkulatoren på grader.
• sin 30° = 0,5, sin 45° ≈ 0,7071, sin 60° ≈ 0,8660 og sin 90° = 1 er nyttige å kunne.
• Vil du løse hele trekanten, bruk trekantkalkulatoren.