Hopp til innholdet
Blogg

Andregradslikning – løs ax² + bx + c = 0 med abc-formelen

Skriv inn a, b og c i ax² + bx + c = 0, så får du løsningene med abc-formelen, diskriminanten, faktoriseringen og topp- eller bunnpunktet. 2x² − 4x − 6 = 0 gir x = 3 eller x = −1.

Oppdatert 12. okt. 2026

Resultat

Løsningx = 3 eller x = −1
Diskriminant (b² − 4ac)64 (positiv: to løsninger)
Faktorisert2(x − 3)(x + 1)
Topp- eller bunnpunktBunnpunkt (1, −8)
Slik er det regnet ut
  1. Likningen 2x² − 4x − 6 = 0 har a = 2, b = −4 og c = −6.
  2. Diskriminanten: D = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 2 · (−6) = 16 + 48 = 64
  3. abc-formelen: x = (−b ± √D) / (2a) = (4 ± √64) / (2 · 2) = (4 ± 8) / 4
  4. D > 0 gir to løsninger: x = (4 + 8) / 4 = 3 og x = (4 − 8) / 4 = −1
  5. Faktorisert: 2x² − 4x − 6 = 2(x − 3)(x + 1)
  6. Kontroll med x = 3: 2 · 3² − 4 · 3 − 6 = 0.
  7. Bunnpunkt (1, −8): x = −b/(2a) = 1, og y = −8.

Formel

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
D = b² − 4ac: D > 0 to løsninger, D = 0 én løsning, D < 0 ingen reelle løsninger
Topp-/bunnpunkt: x = −b / (2a)

abc-formelen

En andregradslikning kan alltid skrives som ax² + bx + c = 0, der a ikke er 0. Løsningene finner du med abc-formelen:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Tegnet ± betyr at du regner ut én løsning med pluss og én med minus. Før du bruker formelen, må likningen stå med 0 på høyre side. 2x² = 4x + 6 må altså først skrives om til 2x² − 4x − 6 = 0.

Eksempel: 2x² − 4x − 6 = 0

Her er a = 2, b = −4 og c = −6. Diskriminanten er (−4)² − 4 · 2 · (−6) = 16 + 48 = 64, og √64 = 8. Da er x = (4 ± 8)/4, som gir x = 12/4 = 3 eller x = −4/4 = −1. Kontroll: 2 · 3² − 4 · 3 − 6 = 18 − 12 − 6 = 0.

Diskriminanten avgjør antall løsninger

Uttrykket under rottegnet, D = b² − 4ac, kalles diskriminanten:

  • D > 0: to løsninger. Grafen skjærer x-aksen i to punkter.
  • D = 0: én løsning (dobbeltrot). Grafen berører x-aksen i bunn- eller toppunktet. x² − 2x + 1 = 0 gir bare x = 1.
  • D < 0: ingen reelle løsninger. Grafen ligger helt over eller helt under x-aksen, som for x² + 1 = 0.

Eksakte svar

Er diskriminanten ikke et kvadrattall, blir løsningene irrasjonale. x² − 2x − 1 = 0 har D = 8, og √8 = 2√2. Da blir x = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2, omtrent 2,414 og −0,414. På prøver uten hjelpemidler skal du ofte oppgi det eksakte svaret. Se kvadratrot for hvordan rota forenkles.

Raskere metoder når b eller c er 0

  • c = 0: sett x utenfor parentes. 3x² − x = 0 gir x(3x − 1) = 0, så x = 0 eller x = 1/3.
  • b = 0: løs for x². x² − 8 = 0 gir x² = 8 og x = ±√8 = ±2√2.
  • Faktorisering: finn to tall med sum −b/a og produkt c/a. For x² − 5x + 6 er det 2 og 3, så x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Bunnpunkt og toppunkt

Grafen til f(x) = ax² + bx + c er en parabel. Er a positiv, smiler den og har et bunnpunkt. Er a negativ, har den et toppunkt. x-verdien er x = −b/(2a), midt mellom nullpunktene. For 2x² − 4x − 6 er x = 4/4 = 1 og f(1) = 2 − 4 − 6 = −8, så bunnpunktet er (1, −8).

Er likningen av første grad, bruk likningsløseren. To likninger med to ukjente løses med likningssett-kalkulatoren.

Spørsmål og svar

Hva er abc-formelen?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Den gir løsningene til alle andregradslikninger på formen ax² + bx + c = 0.

Hva sier diskriminanten?

D = b² − 4ac avgjør antall løsninger: to hvis D > 0, én hvis D = 0 og ingen reelle hvis D < 0.

Hvordan løser jeg x² − 5x + 6 = 0?

Med abc-formelen: D = 25 − 24 = 1, så x = (5 ± 1)/2, altså x = 3 eller x = 2.

Hva gjør jeg hvis likningen ikke står lik 0?

Flytt alle ledd over på venstre side først. x² = 3x + 4 blir x² − 3x − 4 = 0, og da er a = 1, b = −3 og c = −4.

Hvordan finner jeg bunnpunktet?

x-koordinaten er −b/(2a). Sett den inn i uttrykket for å finne y. For 2x² − 4x − 6 er bunnpunktet (1, −8).

Fikk du svaret du trengte?