Likningssett – løs to likninger med to ukjente
Skriv inn tallene i de to likningene ax + by = c, og velg metode. Du får x og y med hele utregningen og kontroll. 2x + 3y = 12 og x − y = 1 gir x = 3, y = 2.
Resultat
Slik er det regnet ut
- Likningssettet: (1) 2x + 3y = 12 og (2) x − y = 1.
- Addisjonsmetoden: vi vil bli kvitt x. Gang (2) med 2, så x-leddene blir like store: (1) 2x + 3y = 12 og (2) 2x − 2y = 2.
- Trekk (2) fra (1), så forsvinner x: 5y = 10, altså y = 2
- Sett y = 2 inn i (1): 2x + 3 · 2 = 12, så 2x = 6 og x = 6 / 2. Altså x = 3
- Kontroll: sett x = 3 og y = 2 inn i begge likningene. (1): 12 = 12, (2): 1 = 1.
- Grafisk betyr løsningen at de to rette linjene skjærer hverandre i punktet (3, 2).
Formel
x = (c₁b₂ − c₂b₁) / (a₁b₂ − a₂b₁), y = (a₁c₂ − a₂c₁) / (a₁b₂ − a₂b₁)
a₁b₂ − a₂b₁ = 0: ingen eller uendelig mange løsninger
Hva er et likningssett?
Et likningssett er to (eller flere) likninger som skal stemme samtidig. Med to ukjente, x og y, trenger du to likninger for å finne én bestemt løsning. Hver likning på formen ax + by = c er en rett linje i et koordinatsystem, og løsningen er punktet der linjene krysser hverandre.
Skriv likningene slik at x og y står til venstre og tallet til høyre. y = 2x − 1 skrives da som −2x + y = −1, altså a = −2, b = 1 og c = −1. Mangler x eller y i en likning, er tallet foran 0.
Addisjonsmetoden
Gang likningene med passende tall slik at den ene ukjente får like store tall foran seg, og legg sammen eller trekk fra likningene. Da forsvinner den ukjente.
Eksempel: (1) 2x + 3y = 12 og (2) x − y = 1. Gang (2) med 3: 3x − 3y = 3. Legg sammen med (1): 5x = 15, så x = 3. Sett inn i (2): 3 − y = 1, så y = 2.
Innsettingsmetoden
Løs den ene likningen for én av de ukjente, og sett uttrykket inn i den andre likningen. Velg helst en ukjent som har 1 eller −1 foran seg, så slipper du brøker.
Samme eksempel: (2) gir x = 1 + y. Sett inn i (1): 2(1 + y) + 3y = 12, altså 2 + 5y = 12 og y = 2. Da er x = 1 + 2 = 3. Begge metodene gir selvsagt det samme svaret, og kalkulatoren viser den du velger.
Ingen eller uendelig mange løsninger
- Ingen løsning: linjene er parallelle. x + y = 2 og x + y = 5 kan ikke stemme samtidig. Prøver du å løse settet, forsvinner både x og y, og du står igjen med noe usant, som 0 = 3.
- Uendelig mange løsninger: likningene beskriver samme linje. 2x + 4y = 6 er bare x + 2y = 3 ganget med 2, og alle punkter på linjen passer.
Du kan sjekke dette på forhånd med a₁b₂ − a₂b₁. Er det 0, har settet enten ingen eller uendelig mange løsninger.
Når bruker du likningssett?
Mange tekstoppgaver gir to opplysninger om to ukjente. Eksempel: 2 voksenbilletter og 3 barnebilletter koster 600 kr, og en voksenbillett koster 50 kr mer enn en barnebillett. Med x for voksen og y for barn blir det 2x + 3y = 600 og x − y = 50, som gir x = 150, y = 100. Voksenbilletten koster 150 kr og barnebilletten 100 kr.
For én likning med én ukjent, bruk likningsløseren. Vil du finne likningen for en linje gjennom to punkter, bruk stigningstall og rett linje.
Spørsmål og svar
Hvordan løser jeg to likninger med to ukjente?
Bruk addisjonsmetoden eller innsettingsmetoden for å bli kvitt den ene ukjente, finn den andre, og sett inn for å finne den første. 2x + 3y = 12 og x − y = 1 gir x = 3 og y = 2.
Hva er addisjonsmetoden?
Du ganger likningene slik at den ene ukjente får like store tall foran seg, og legger sammen eller trekker fra likningene så den forsvinner.
Hva er innsettingsmetoden?
Du løser én likning for x eller y og setter uttrykket inn i den andre likningen.
Når har et likningssett ingen løsning?
Når linjene er parallelle, for eksempel x + y = 2 og x + y = 5. Da står du igjen med noe usant som 0 = 3.
Hva betyr løsningen grafisk?
Løsningen er koordinatene til punktet der de to rette linjene krysser hverandre.
Fikk du svaret du trengte?
Takk! Lagre kalkulatoren med stjernen, så finner du den raskt neste gang.