Overflate av kule – også halvkule og kuppel

Slik regner du ut overflaten av en kule

Overflaten av en kule er fire ganger arealet av en sirkel med samme radius:

O = 4 × π × r²

En kule med radius 10 cm har overflaten 4 × π × 100 = 1 256,64 cm². Med diameteren kan du regne enda enklere: O = π × d². Diameter 20 cm gir π × 400, som er det samme.

Hvorfor fire sirkler?

Arkimedes fant ut at overflaten av en kule er like stor som sideflaten av den minste sylinderen kulen passer i. Sylinderen har radius r og høyde 2r, så sideflaten er 2πr × 2r = 4πr². En appelsin gir en morsom kontroll: tegn fire sirkler med samme radius som appelsinen, og skrellet vil dekke omtrent alle fire.

Halvkule og kuppel

En halvkule har halve den buede overflaten, 2πr². Har den flat bunn, kommer bunnen i tillegg: 2πr² + πr² = 3πr². Velg riktig variant i kalkulatoren:

• Kuppel eller tak uten bunn: en kuppel med radius 3 m har 56,55 m² buet flate å male eller tekke.
• Massiv halvkule med bunn, for eksempel en betongpullert eller en kake: med radius 10 cm blir overflaten 942,48 cm².

Skal du bestille maling eller belegg, kan du ta arealet videre til malingkalkulatoren.

Fra omkrets til overflate

På en ball er det lett å måle omkretsen med et målebånd. Overflaten er da omkrets² ÷ π. En fotball med omkrets 69 cm har en overflate på 69² ÷ π = 1 515 cm², omtrent 0,15 m² lær eller kunststoff.

Overflate og volum henger sammen

Dobler du radius, blir overflaten fire ganger så stor, men volumet åtte ganger så stort. Store kuler har derfor lite overflate i forhold til innholdet. Det er grunnen til at en stor snøball smelter saktere enn mange små med samme samlede vekt, og at store dyr holder lettere på varmen enn små. Kuleformen har den minste overflaten av alle former med samme volum, og derfor blir såpebobler og vanndråper runde. Volumet regner du ut med volum av kule.

Jorda som eksempel

Med en midlere radius på 6 371 km blir jordas overflate 4 × π × 6 371² ≈ 510 millioner km². Det stemmer godt med tallet som brukes i geografibøkene, selv om jorda egentlig er litt flatere ved polene enn en perfekt kule.

Vanlige feil

• Å bruke diameteren i 4πr². Da blir overflaten fire ganger for stor. Bruk π × d² hvis du har diameteren.
• Å blande overflate og volum. Overflaten måles i cm² eller m², volumet i cm³ eller liter.
• Å glemme bunnen på en halvkule som skal males på alle sider, eller å ta den med når den står mot bakken.

For andre former, se overflate av sylinder og areal av sirkel.