Avstand mellom to punkter – avstandsformelen med utregning

Avstandsformelen

Avstanden mellom to punkter i et koordinatsystem finner du med Pytagoras. Tegn en rettvinklet trekant der den ene kateten går vannrett og den andre loddrett mellom punktene. Katetene er forskjellen i x og forskjellen i y, og avstanden er hypotenusen:

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Eksempel

Fra (1, 2) til (4, 6): Δx = 4 − 1 = 3 og Δy = 6 − 2 = 4. Da er d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Det er den berømte 3-4-5-trekanten.

Rekkefølgen på punktene spiller ingen rolle, fordi forskjellene kvadreres. Fra (4, 6) til (1, 2) får du Δx = −3 og Δy = −4, men (−3)² = 9 og (−4)² = 16, og svaret blir det samme.

På tallinjen

Har punktene bare én koordinat, er avstanden tallverdien av differansen. Fra −3 til 5 er avstanden |5 − (−3)| = 8. Avstandsformelen gir det samme hvis du setter y = 0 for begge punktene, fordi √(8²) = 8.

Eksakt svar

Ofte går ikke rota opp. Fra (0, 0) til (5, 5) blir d = √(25 + 25) = √50. Det forenkles til 5√2, fordi 50 = 25 · 2, og som desimaltall er det omtrent 7,0711. På prøver uten hjelpemidler er det vanlig å svare eksakt. Se kvadratrot for hvordan du forenkler.

Avstand i rommet

I tre dimensjoner legger du til et ledd for z: d = √(Δx² + Δy² + Δz²). Fra (0, 0, 0) til (2, 3, 6) blir det √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Det er det samme som lengden av romdiagonalen i en eske med sidene 2, 3 og 6. Se også diagonal.

Når bruker du avstandsformelen?

• Når du skal finne lengden av et linjestykke i et koordinatsystem, for eksempel sidene i en trekant med kjente hjørner.
• For å sjekke om en trekant er likebeint eller rettvinklet: regn ut alle tre sidene og sammenlign.
• For å finne radius i en sirkel når du kjenner sentrum og et punkt på sirkelen.
• På kart med rutenett: er to steder 3 km fra hverandre mot øst og 4 km mot nord, er luftlinjen 5 km.

Kalkulatoren viser også midtpunktet mellom punktene. Vil du ha likningen for linjen gjennom dem, bruk stigningstall og rett linje.